Elipse com centro fora da origem

Por: Thiago Silva e Dênis Melo

Aplica-se translação de eixos, ou seja, usa-se um valor de X’ e Y’ para fazer o centro sair da origem e ir até o centro da elipse (que está fora da origem do sistema).

x’ = x – h

y’ = y – k

h e k são as distancias: horizontal e vertical do centro da elipse à origem do sistema.

Então a equação reduzida, com centro fora da origem fica:

Veja que se o centro estiver na origem, então h = k = 0, e a equação volta a ser aquela obtida através da definição. Chama-se Equação geral da elipse, aquela que obtém quando se expande a equação. Já a circunferência é um caso particular da elipse, isto se deve ao fato do eixo maior ser igual ao eixo menor, assim quando os eixos forem iguais, dá-se o nome de raio, lembrando que o dobro do raio é chamado de diâmetro.

                                       

APLICAÇÃO DOS CONCEITOS

Determinar o centro, os vértices, os focos a excentricidade da elipse, esboçar o gráfico (pag. 243, ex.27). 16x² + 9y² - 96x + 72y + 144 = 0.

A equação está na forma geral, temos que passa-la para a forma reduzida a fim de identificarmos o centro, e as medidas de a e b para construí o gráfico. LOGO:

16x² + 9y² - 96x + 72y + 144 = 0

16 (x² – 6x) + 9 (y² + 8y) + 144 = 0 (1)

(x²-6x) = (x-3)² - 9, completar quadrado

(y²+8y) = (y+4)² - 16, completar quadrado

Agora é só substituir tais valores na equação (1):

16 [ (x-3)² - 9] + 9 [ (y+4)² - 16] + 144 = 0

16 (x-3)² - 144 + 9 (y+4)² = 0 (operação básica)

16 (x-3)² + 9 (y+4)² = 144 (dividir os dois lados da eq. Por 144)

ou

Vamos encontrar o centro, x’ = x – h, x – (3), logo h = 3; y’ = y - k, y – (4), logo k = -4. Portanto o centro é C (3,4). E como 16 > 9, a² = 16 e b² = 9.

Com as aulas anteriores sabemos que a² = b² + c², c² = a² - b² (só possuímos medidas a² e b², precisamos de c²). Fazendo os cálculos temos:

C² = 16 - 9

C² = 7 ou ainda c = raiz de 7

Portanto os valores dos focos são: F(3, -4 – raiz de 7) e F(3, -4 + raiz de 7).

E a excentricidade (e = c/a) => raiz de 7/ 4.

E por fim os vértices: V1 (3, -8); V2 (3,0); V3 (0,-4) e V4(6,-4).

Referências:

1. STEINBRUCH, A. WINTERLE, P. Geometria Analítica. Editora Pearson